Em física do estado sólido, a Lei de Bragg está relacionada ao espalhamento de ondas que incidem em um cristal e fornece uma explicação para os efeitos difrativos observados nesta interação. Estes padrões são explicados relacionando os vetores de onda do feixe incidente e espalhado em uma rede cristalina para o caso de seu espalhamento elástico com os átomos do material.

No caso de ondas de raios X, ao atingirem um átomo, o campo elétrico da radiação provoca uma força na nuvem eletrônica acelerando as cargas livres do material (elétrons). O movimento dessas cargas re-irradia ondas que têm aproximadamente a mesma frequência, uma vez que o espalhamento não é totalmente elástico, podendo haver interações de criação e aniquilação de fônons, porém em uma escala de energia muito menor. Nesse modelo, as frequências da radiação incidente e espalhada são consideradas idênticas. As ondas emergentes interferem entre si construtiva e destrutivamente, gerando padrões de difração no espaço que podem ser medidos em um filme ou detector. O padrão de difração resultante é a base da análise difrativa, chamada difração de Bragg.

História[editar | editar código-fonte]

Representação esquemática da estrutura cristalina do cloreto de sódio.

A difração de Bragg (também chamada de formulação de Bragg da difração de raios X) foi proposta originalmente por William Lawrence Bragg e William Henry Bragg em 1913, em resposta à descoberta de que sólidos cristalinos produziam padrões intrigantes de reflexão de raios x (ao contrário, por exemplo, de um líquido). Eles descobriram que esses cristais, para alguns comprimentos de onda e ângulos de incidência específicos, produziam intensos picos de radiação refletida (conhecidos como picos de Bragg). O conceito de difração de Braggse aplica igualmente a processos de difração de nêutrons e de elétrons^[1]. Tanto os nêutrons quanto os raios X possuem comprimento de onda compatível com as distâncias interatômicas - da ordem de 150 pm - e, portanto, constituem uma excelente ferramenta para se explorar dimensões com essa ordem de grandeza.

W.L. Bragg explicou esse resultado empírico modelando o cristal como um conjunto de planos discretos, paralelos e separados por uma distância constante d, propondo que a radiação incidente produziria um pico de Bragg se as reflexões especulares de vários planos interferissem construtivamente, ou seja, se a diferença de fase entre as frentes de onda refletidas por planos consecutivos fosse de ${\displaystyle 2\pi }$radianos.

A lei de Bragg foi derivada pelo físico Sir William Lawrence Bragg.^[2] em 1912 e apresentada pela primeira vez em 11 de novembro desse mesmo ano à Sociedade Filosófica de Cambridge. Embora simples, a lei de Bragg confirmou a existência de partículas reais na escala atômica, e forneceu uma nova e poderosa ferramenta para o estudo de cristais utilizando difração de raios X e nêutrons. William Lawrence Bragg e seu pai, Sir William Henry Bragg, foram laureados com o Prêmio Nobel de física em 1915 por seu trabalho em determinar estruturas cristalinas, a começar pelo cloreto de sódio, o sulfeto de zinco e o diamante. Eles são a única equipe formada por pai e filho a ganhar o prêmio conjuntamente. W.L. Bragg tinha 25 anos de idade, o que faz dele o mais jovem laureado pela Academia Real das Ciências da Suécia.

Condição de Bragg[editar | editar código-fonte]

Modelo de Bragg em duas dimensões: A diferença de caminho óptico entre os dois raios é ${\displaystyle 2d\sin \theta }$, onde ${\displaystyle d}$ é a distância entre os planos considerados e ${\displaystyle \theta }$, o ângulo de incidência.

A periodicidade do cristal faz com que haja planos de átomos separados por uma distância fixa nas diferentes direções do espaço. A difração de Bragg ocorre quando a radiação eletromagnética ou ondas de matéria de comprimento de onda comparável à distância entre dois planos de átomos é refletida especularmente por planos consecutivos.

Nota-se que partículas em movimento, incluindo elétrons, prótons e nêutrons têm um comprimento de onda associado de de Broglie dado por:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Nessa expressão, ${\displaystyle p}$ é o momento linear da partícula.

A próxima equação é conhecida como Lei de Bragg. Para que haja uma diferença de fase entre dois raios igual a ${\displaystyle 2\pi }$radianos, é necessária a condição

${\displaystyle 2d\sin \theta =n\lambda \;,\;\!}$

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

onde ${\displaystyle n}$ é um número natural, ${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda da radiação incidente, ${\displaystyle d}$ é a distância entre planos atômicos e ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo de incidência em relação ao plano considerado. Dessa maneira, existe uma dependência entre o ângulo de incidência e a intensidade da onda refletida. Como cada plano reflete de ${\displaystyle 10^{-3}}$ a ${\displaystyle 10^{-5}}$ do total da radiação incidente, há de ${\displaystyle 10^{3}}$ a ${\displaystyle 10^{5}}$ planos contribuindo para a reflexão total. Se os raios refletidos estão fora de fase, a soma das muitas contribuições (reflexões por planos diferentes) tenderá a zero, de maneira que podem ser observados picos localizados nos ângulos em que a condição de Bragg é satisfeita^[3].

Densidade eletrônica[editar | editar código-fonte]

Análise de Fourier[editar | editar código-fonte]

Para melhor compreender o comportamento da onda espalhada, pode ser tomado como modelo um cristal perfeito, formado por uma célula primitiva que se repete no espaço. A descrição matemática do cristal é invariante sob uma translação espacial:

${\displaystyle {\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3}}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Nessa expressão os ${\displaystyle u_{i}}$ são números inteiros e os vetores ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$ são os vetores associados aos eixos do cristal, cujas magnitudes ${\displaystyle a_{i}}$ são as distâncias entre sítios (pontuais) da rede nas direções ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$. Todas as propriedades locais do cristal, como densidade de momento magnético, concentração de carga ou densidade eletrônica, serão invariantes sob uma translação da forma ${\displaystyle {\vec {T}}}$ para qualquer combinação de ${\displaystyle u_{i}}$^[4]

${\displaystyle F({\vec {r}}+{\vec {T}})=F({\vec {r}})}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Essa periodicidade permite que se faça uma expansão da densidade eletrônica ${\displaystyle n({\vec {r}})}$ em série de Fourier. Considerando primeiro apenas uma componente dimensional, vem:

${\displaystyle n(x)=\sum _{p>0}^{}[C_{p}\cos {\frac {2\pi px}{a_{1}}}+S_{p}\sin {\frac {2\pi px}{a_{1}}}]}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Nessa expressão ${\displaystyle C_{p}}$ e ${\displaystyle S_{p}}$ são constantes reais e ${\displaystyle a_{1}=|{\vec {a}}_{1}|}$. É imediato que

${\displaystyle n(x+a_{1})=n(x)\;\!}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Um ponto ${\displaystyle {\frac {2\pi p}{a_{1}}}}$ é um ponto no chamado espaço recíproco do cristal. Os coeficientes da expansão serão tais que apenas os termos que condizem com a periodicidade do cristal no espaço real (das posições) poderão ser diferentes de zero.

É conveniente escrever a soma como uma exponencial complexa através da relação de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;\!}$

Com essa notação, a expansão pode ser escrita como

${\displaystyle n(x)=\sum _{p=-\infty }^{\infty }[n_{p}e^{\frac {i2\pi px}{a_{1}}}]}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Nessa expressão o somatório percorre todos os valores inteiros de p. O termo ${\displaystyle n_{p}}$ agora é, em geral, um número complexo e, portanto, é necessário impor uma condição que faça com que ${\displaystyle n(x)}$ seja uma função real como originalmente. A condição

${\displaystyle n_{p}=n^{*}\!_{-p}}$

faz com que

${\displaystyle [n_{p}e^{\frac {i2\pi px}{a_{1}}}+n_{-p}e^{\frac {-i2\pi px}{a_{1}}}]=2Re[n_{p}]\cos {\frac {i2\pi px}{a_{1}}}-2Im[n_{p}]\sin {\frac {i2\pi px}{a_{1}}}}$ ,

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

que é uma função real.

Estender o argumento para três dimensões é algo direto:

${\displaystyle n({\vec {r}})=\sum _{G}^{}n_{p}e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {r}}}}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

O somatório triplo foi omitido para preservar a clareza da expressão, mas é importante lembrar que a soma é realizada sobre todos as combinações possíveis de ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}\;\!}$(definido na próxima subseção). Assim, é necessário encontrar um conjunto de vetores ${\displaystyle {\vec {G}}}$ que satisfaçam a relação de invariância por translação ${\displaystyle {\vec {T}}}$.

Tendo a expressão para a expansão de Fourier para densidade eletrônica, é possível obter os coeficientes da expansão em uma dimensão por meio de

${\displaystyle n_{p}=a_{1}^{-1}\int _{0}^{a_{1}}n(x)e^{\frac {-i2\pi px}{a_{1}}}\,dx}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Substituindo a expressão expandida para ${\displaystyle n(x)}$ na integral acima, vem:

${\displaystyle n_{p}=a_{1}^{-1}\sum _{p'}^{}n_{p'}\int _{0}^{a_{1}}e^{\frac {i2\pi (p-p')x}{a_{1}}}\,dx}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

O caso ${\displaystyle p\neq p'}$ faz com que o valor da integral seja

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{i2\pi (p'-p)}}(e^{i2\pi (p'-p)}-1)=0}$ ,

pois ${\displaystyle p'-p}$ é um inteiro e ${\displaystyle e^{i2\pi (inteiro)}=1}$. No caso ${\displaystyle p'=p}$, ${\displaystyle e^{0}=1}$, de maneira que o valor da integral é ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle n_{p}={\frac {a_{1}n_{p}}{a_{1}}}=n_{p}}$. De maneira semelhante, pode ser invertido o caso tridimensional, obtendo

${\displaystyle n_{G}=V_{c}^{-1}\int _{}^{}\int _{}^{}\int _{}^{}n({\vec {r}})e^{(-i{\vec {G}}\cdot {\vec {r}})}dV}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Nesse caso a integração é realizada sobre uma célula primitiva e ${\displaystyle V_{c}}$ é o volume da mesma.

Rede recíproca[editar | editar código-fonte]

Podemos construir, a partir dos vetores da base ${\displaystyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{2}}$, a base da rede recíproca^[5]

${\displaystyle {\vec {b}}_{1}=2\pi {\frac {a_{2}\times a_{3}}{a_{1}\cdot a_{2}\times a_{3}}}}$

${\displaystyle {\vec {b}}_{2}=2\pi {\frac {a_{3}\times a_{1}}{a_{1}\cdot a_{2}\times a_{3}}}}$

${\displaystyle {\vec {b}}_{3}=2\pi {\frac {a_{1}\times a_{2}}{a_{1}\cdot a_{2}\times a_{3}}}}$

ou de forma condensada, utilizando o tensor ou símbolo de Levi-Civita,

${\displaystyle {\vec {b}}_{i}=2\pi {\frac {a_{j}\times a_{k}}{|a_{i}\cdot a_{j}\times a_{k}|}}\varepsilon _{ijk}.}$

Por análise vetorial simples temos

${\displaystyle {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j}=2\pi \delta _{ij},}$

onde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ é o delta de Kronecker.

Definimos ${\displaystyle {\vec {G}}}$ como sendo um vetor da forma

${\displaystyle {\vec {G}}=v_{1}{\vec {b}}_{1}+v_{2}{\vec {b}}_{2}+v_{3}{\vec {b}}_{3}}$ ,

onde os ${\displaystyle v_{i}\;\!}$ são números inteiros e os ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}}$ são a base da rede recíproca. Estamos agora em condições de descrever a periodicidade de ${\displaystyle n({\vec {r}})}$ combinando a definição de ${\displaystyle {\vec {G}}}$ e a expansão em coeficientes de Fourier de ${\displaystyle n({\vec {r}})}$:

${\displaystyle n({\vec {r}})=\sum _{\vec {G}}^{}n_{p}e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {r}}}}$

${\displaystyle n({\vec {r}}+{\vec {T}})=\sum _{\vec {G}}^{}n_{p}e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {r}}}e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {T}}}}$

O termo à direita pode ser escrito como ${\displaystyle e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {T}}}=e^{i(v_{1}{\vec {b}}_{1}+v_{2}{\vec {b}}_{2}+v_{3}{\vec {b}}_{3})\cdot (u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3})}=e^{i2\pi (v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3})}}$

e como todos os ${\displaystyle u_{i},v_{i}}$ são inteiros e a exponencial de ${\displaystyle 2i\pi }$ vezes um número inteiro é um, obtemos o resultado desejado, isto é, a invariância da densidade eletrônica, pois

${\displaystyle n({\vec {r}}+{\vec {T}})=\sum _{\vec {G}}^{}n_{p}e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {r}}}e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {T}}}=\sum _{\vec {G}}^{}n_{p}e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {r}}}1=\sum _{\vec {G}}^{}n_{p}e^{{\vec {G}}\cdot {\vec {r}}}=n({\vec {r}})}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Amplitude de Espalhamento[editar | editar código-fonte]

Definimos a amplitude de espalhamento como sendo uma função que depende da densidade eletrônica e dos vetores de ondas incidente e refletido ${\displaystyle {\vec {k}}}$ e ${\displaystyle {\vec {k}}'}$, a princípio ondas planas monocromáticas:

${\displaystyle F=\int _{}^{}\int _{}^{}\int _{}^{}n({\vec {r}})e^{i({\vec {k}}-{\vec {k}}')\cdot {\vec {r}}}dV}$ .

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

As integrais são realizadas sobre o volume do cristal inteiro. Embora tenhamos considerado um modelo onde o cristal é perfeito e infinito, uma amostra macroscópica é aproximadamente infinita se comparadas as suas dimensões com as distâncias interatômicas de uma rede cristalina, da ordem de ${\displaystyle 10^{-10}}$ metros^[6]. O vetor de onda incidente tem a mesma energia que o vetor difratado, conforme a condição de espalhamento elástico considerando a rede cristalina como muito massiva e imóvel. A condição de conservação de energia é

${\displaystyle |{\vec {k}}|=|{\vec {k}}'|}$ .

Definimos o vetor de espalhamento como sendo

${\displaystyle \Delta {\vec {k}}={\vec {k}}'-{\vec {k}}}$ ,

de maneira que a expressão anterior se torna

${\displaystyle F=\int _{}^{}\int _{}^{}\int _{}^{}n({\vec {r}})e^{-i\Delta {\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}dV}$.

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Introduzimos agora a expansão em série de Fourier para ${\displaystyle n({\vec {r}})}$ nessa expressão para obter

${\displaystyle F=\sum _{G}^{}\int _{}^{}\int _{}^{}\int _{}^{}n_{G}e^{i({\vec {G}}-\Delta {\vec {k}})\cdot {\vec {r}}}dV}$ . 

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Quando o vetor de espalhamento é igual a algum vetor da rede recíproca, isto é,

${\displaystyle \Delta {\vec {k}}={\vec {G}}}$ ,

a exponencial é nula e

${\displaystyle F=Vn_{G}}$.

Quando o vetor de espalhamento difere significantemente de qualquer vetor da rede recíproca, o grande número de oscilações da exponencial devido à variação de ${\displaystyle {\vec {r}}}$ dentro da integral faz com que ${\displaystyle F}$ rapidamente tenda a zero.

Podemos reescrever a relação entre os vetores de onda e os vetores da base recíproca utilizando a definição do vetor de espalhamento

${\displaystyle {\vec {k}}+{\vec {G}}={\vec {k}}'}$ .

Pela conservação da energia, obtivemos que as magnitudes dos vetores ${\displaystyle {\vec {k}}}$ devem ser iguais. Portanto, tomando o produto escalar dos dois lados:

${\displaystyle ({\vec {k}}+{\vec {G}})\cdot ({\vec {k}}+{\vec {G}})={\vec {k}}'\cdot {\vec {k}}'=k'^{2}=k^{2}}$

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Portanto,

${\displaystyle ({\vec {k}}+{\vec {G}})^{2}=k^{2}}$.

ou ainda

${\displaystyle 2{\vec {k}}\cdot {\vec {G}}+G^{2}=0}$ .

Pelas definições de rede recíproca, é possível mostrar que, se ${\displaystyle {\vec {G}}}$ é um vetor da rede recíproca, então ${\displaystyle -{\vec {G}}}$ também é. Isso faz com que seja possível escrever a condição acima como

${\displaystyle 2{\vec {k}}\cdot {\vec {G}}=G^{2}}$ .

As últimas duas equações são formulações equivalentes da condição de difração de Bragg. O espaçamento ${\displaystyle d(hkl)}$ entre planos cristalinos paralelos entre si, normais à direção

${\displaystyle {\vec {G}}=h{\vec {b}}_{1}+k{\vec {b}}_{2}+l{\vec {b}}_{3}}$ ,

onde h, k, l são inteiros, é dado por

${\displaystyle d(hkl)={\frac {2\pi }{|{\vec {G}}|}}}$ .

Combinando a definição de ${\displaystyle |{\vec {k}}|}$,

${\displaystyle |{\vec {k}}|={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

onde ${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda incidente, com a definição de produto escalar e do módulo de ${\displaystyle {\vec {G}}}$, temos:

${\displaystyle 2\left({\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {2\pi }{d(hkl)}}\right)\cos \phi =\left({\frac {2\pi }{d(hkl)}}\right)^{2}}$ ,

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

sendo ${\displaystyle \phi }$ o ângulo entre os vetores ${\displaystyle {\vec {k}}}$ e ${\displaystyle -{\vec {G}}}$ .

Conforme observamos acima, o vetor ${\displaystyle {\vec {G}}}$ é normal ao plano ${\displaystyle d(hkl)}$. Logo, o vetor ${\displaystyle -{\vec {G}}}$ também é normal ao plano e o ângulo entre esse vetor e um vetor no plano considerado é ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$. O menor ângulo formado entre o vetor de onda incidente ${\displaystyle {\vec {k}}}$ e o plano é, por análise geométrica, igual a

Modelo de Bragg em duas dimensões: Relação entre os ângulos de incidência e de espalhamento tomando como referência o plano cristalino e a vetor ${\displaystyle -{\vec {G}}}$ para obtenção da formulação usual da lei de Bragg. Pela condição de reflexão especular, é possível deduzir que o ângulo entre os vetores de onda incidente e refletido é de ${\displaystyle 2\theta }$

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}+\phi =-\theta }$

ou rearranjando os fatores:

${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}-\theta }$ .

Podemos reescrever a condição de Bragg utilizando o ângulo entre o vetor incidente e o plano, ao invés de considerar o ângulo entre o vetor incidente e o vetor ${\displaystyle -{\vec {G}}}$, utilizando a relação

${\displaystyle \cos \phi =\cos {\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}=\sin \theta }$

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Assim, recuperamos o resultado obtido pela análise geométrica simples, escrito à maneira usual da formulação da lei de Bragg:

${\displaystyle 2d(hkl)\sin \theta =\lambda \;\!}$ .

Aqui, ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo entre o vetor de onda e o plano cristalino descrito pelos inteiros h, k e l. Existe uma diferença entre essa equação e a primeira equação apresentada aqui como condição de difração, a saber, a multiplicação do lado direito da equação por um número inteiro. Isso se dá pelo fato dos índices de Miller poderem conter um fator comum n, que é eliminado no processo de obtenção dos mesmos. Fisicamente, isso significa que a expressão

${\displaystyle 2\sin \theta d(hkl)=n\lambda \;\!}$ 

x

V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

dá a condição de difração de Bragg para um plano de índices de Miller ${\displaystyle ({\frac {h}{n}}\;{\frac {k}{n}}\;{\frac {l}{n}})}$.

EM = ENERGIA E MASSA.

SDCG = SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI

EM X SDC G.=

EM =
X


V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

 VELOCIDADE ALTERA E MODIFICA ESTRUTURAS, ENERGIAS, FENÔMENOS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, TEMPERATURA, MOMENTUM, E OUTROS FENÔMENOS E CONFORME O SISTEMA DECADIMENSIONAL CATEGORIAL GRACELI.

RELATIVIDADE DO MOVIMENTO E RELATIVIDADE CATEGORIAL GRACELI.

[VELOCIDADE, ROTAÇÃO E MOVIMENTO ANGULAR]
V [R] [MA] =  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

X =

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

mecânica TRANSICIONAL Graceli se fundamenta nas mudanças de fases de estados, fases de isótopos, de estrutura atômica e molecular, [ FASES DE ESTADOS, ESTRUTURAS, ENERGIAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES CATEGORIAIS] com variáveis de movimentos, interações, transformações, temperatura, densidade e pressão, e outros, e conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli [SDC Graceli]. E FENÔMENOS E ENERGIAS E VARIAÇÕES DE ESTRUTURAS QUE ACONTECEM DENTRO DAS ESTRUTURAS E ENERGIAS.


um ferromagnético sendo derretido a 300 graus Celsius tem uma realidade física e química, e com variações quântica e orbitais, elétrica, termodinâmicas, mecãnicas, e outros diferentes de um derretimento a 350 graus.

o mesmo serve para outros materiais e com outras variações levando a um indeterminismo transcendente, categorial e decadimensional Graceli.

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

O sistema decadimensional e categorial Graceli pode ser visto como um outro ramo da física e da física, onde envolve condições da matéria e da energia, fenômenos e dimensões, realçados por categorias.

O único sistema que relaciona dez dimensões relacionadas com a matéria e suas energias, fenômenos e categoria.

Com isto pode-se dividir a física em quatro grandes fases:

a clássica, a quântica, a relatividade, e a categorial decadimensional Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

NO SISTEMA CATEGORIAL DE GRACELI TODO TIPO DE MOVIMENTO TEM AÇÃO TRANSFORMADORA  [como os outros elementos, como temperatura, radioatividade, luz, e outros],SOBRE ESTRUTURAS E ENERGIAS, TEMPO E ESPAÇO, INÉRCIA E GRAVIDADE, LUZ .

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.


Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.


E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.


E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.



Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.


Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.


Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.


A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.


Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.


Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.


Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.


Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.


Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.


Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.


Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo,  e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.


Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.



a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.



that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.



and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.



but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.



as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

 = entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.


todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico  e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico,  e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Matriz categorial de Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..


EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].